211service.com
Hvordan gjøre den komplekse matematikken til vektorregning til enkle bilder
Tilbake i 1948 publiserte tidsskriftet Physical Review en artikkel med tittelen Rom-tid tilnærming til kvanteelektrodynamikk av en ung fysiker ved navn R.P. Feynman ved Cornell University. Artikkelen beskrev en ny måte å løse problemer innen elektrodynamikk ved hjelp av matriser. Imidlertid huskes det i dag for en mye kraftigere oppfinnelse - Feynman-diagrammet, som dukket opp der på trykk for første gang.
Feynman-diagrammer har hatt en enorm innvirkning i fysikk. De er billedlige representasjoner av matematikken som beskriver samspillet mellom subatomære partikler. Matematisk er hver interaksjon en uendelig rekke, så selv enkle interaksjoner mellom partikler er fantastisk komplekse å skrive ned på denne måten.
Feynmans geni var å representere disse seriene med enkle linjer i et grafisk format, slik at forskere kunne tenke på partikkelfysikk på nye og spennende måter.
Feynman og andre begynte umiddelbart å utvide ideene sine ved å bruke denne grafiske stenografien. Den amerikanske fysikeren Frank Wilcjek, som jobbet med Feynman på 1980-tallet, skrev faktisk en gang: Beregningene som til slutt ga meg en Nobelpris i 2004 ville ha vært bokstavelig talt utenkelige uten Feynman-diagrammer.
Selvfølgelig er mange andre områder av fysikk avhengige av kompleks matematikk. Og det reiser det interessante spørsmålet om grafikkbaserte innovasjoner kan forenkle disse beregningene og kanskje sparke i gang en ny æra med innovasjon, akkurat som Feynman gjorde.
Gå inn på Joon-Hwi Kim ved Seoul National University i Sør-Korea og et par kolleger som har kommet opp med en lignende innovasjon for vektorregning – en grafikkbasert stenografi for et av de mest vanlige og kraftigste matematiske verktøyene innen naturvitenskap. Vi forventer at grafisk vektorregning vil senke barrierene for å lære og praktisere vektorregning, slik Feynman-diagrammer gjorde i kvantefeltteori, sier de.
Først litt bakgrunn. Vektorkalkulus er den grenen av matematikk som omhandler differensiering og integrasjon av vektorfelt. Grunnen til at det er så viktig i fysikk er at mer eller mindre alt i universet kan beskrives i form av vektorfelt – elektromagnetiske felt, gravitasjonsfelt, væskestrøm og så videre.
Det er grunnen til at alle studenter i fysikk og ingeniørfag bruker mange lykkelige timer på å slite med matematikken og den mystiske notasjonen som den krever. Problemet er at vektorfelt er intrikate enheter - de tildeler en enkelt vektor til hvert punkt i tredimensjonalt rom og kan i seg selv være representasjoner av mer komplekse matematiske objekter kalt differensierbare manifolder. Så på sitt aller enkleste kan et vektorfelt være en uendelig liste med vektorer.
Matematikere representerer disse feltene ved å bruke en tilnærming kalt indeksnotasjon. En vektor kan skrives som til hvor Jeg = 1, 2 eller 3 i tredimensjonalt rom. En annen måte å skrive dette på er: = [ til en, til to, til 3].
Problemene oppstår når disse størrelsene samhandler matematisk. Vektorfelt kan multipliseres med skalarer eller med hverandre på to forskjellige måter, kjent som et punktprodukt og et kryssprodukt. Og resultatene kan være utrolig komplekse – enorme, flerdimensjonale matriser.
I alle disse tilfellene må indeksene til de involverte vektorfeltene spores nøye. Enhver fysiker vil vite hvor lett det er å miste en indeks, og smerten involvert i å finne den igjen
Så er det utfordringen med å finne ut hvordan disse feltene endrer seg over tid, eller i forhold til en annen variabel. Dette er problemet med differensiering, som fysikere har utviklet en rekke verktøy kjent som operatører for – kanskje det mest kjente er operatør .
Fremskrittet som Kim og kollegene har gjort, er å utvikle en grafikkbasert notasjon som erstatter indeksnotasjonen. De representerer en vektor som en boks med en linje festet til den. Derimot har en skalar ingen linjer som strekker seg fra den.
Når to vektorer multipliserer sammen via et punktprodukt, er resultatet skalar mengde. Kim og cos notasjon tar seg av dette automatisk. I et punktprodukt kobles linjene knyttet til de to vektorene til hverandre, og skaper et objekt uten eksterne linjer - med andre ord en skalar.
Men et kryssprodukt mellom to vektorer produserer en annen vektor, og igjen håndterer Kim og cos notasjon dette automatisk. Grafikken for et kryssprodukt er y-formet, med linjene fra de to vektorene som kobles til en tredje som strekker seg bort. Dette danner med andre ord en vektor.
Dette er bare begynnelsen. Forskerne fortsetter med å beskrive et bredt spekter av andre matematiske verktøy, for eksempel deloperatoren sammen med ulike viktige identiteter som brukes i vektorregning. Og de utvider ideene sine til tensorer, som er mer komplekse matematiske objekter, hver med to eller flere indekser.
Resultatene viser en bemerkelsesverdig økonomi. Kim og co viser hvordan notasjonen deres gjør komplekse matematiske uttrykk til relativt enkel grafikk, akkurat som Feynman-diagrammer. Språket er svært intuitivt og forenkler automatisk tensorielle uttrykk, sier de.
Det er betydelig nytteverdi her. Kim og co sier at deres tilnærming endrer vektorfeltregning til en visuell oppgave, snarere som å bygge med legoklosser. Som et barn som leker med pedagogiske leker som legoklosser eller magnetiske byggepinner, vil det være en underholdende opplevelse å «dulle med dansediagrammene», sier de. Siden Feynman-diagrammer er det mest naturlige språket for å beskrive den mikroskopiske prosessen til elementærpartikler, er den grafiske notasjonen det kanoniske språket til vektorregningssystemet.
Det er en stor påstand med stort potensial. Det er ingen tvil om at Feynman-diagrammer har endret måten fysikere tenker på partikkelfysikk. Men vektorregning har en enda større rekkevidde som det matematiske grunnlaget for mye av moderne fysikk og ingeniørfag.
Det store spørsmålet er hvor bredt ideene vil spre seg. Det vil avgjøre om denne grafiske notasjonen utløser en transformativ endring i måten vi tenker på fysikk eller danner en merkelig fotnote i historien til matematisk oppfinnelse. Uansett, Feynman ville sikkert ha blitt underholdt.
Ref: arxiv.org/abs/1911.00892 : Forsterkning av vektorkalkulus med grafisk notasjon