211service.com
En ny måte å gjøre kvadratiske ligninger enkle
De gamle babylonerne var en bemerkelsesverdig gjeng. Blant mange ekstraordinære prestasjoner fant de en nå kjent matematisk løsning på en ubehagelig utfordring: å betale skatt.
Det spesielle problemet for den vanlige arbeidende babyloneren var dette: Gitt en skatteregning som må betales i avlinger, hvor mye bør jeg øke størrelsen på åkeren min for å betale den?
Denne oppgaven kan skrives ned som en andregradsligning på formen Ax2+Bx+C=0. Og det løses med denne formelen:
I dag, over 4000 år senere, har millioner av mennesker den kvadratiske formelen etset inn i hodet takket være måten matematikk undervises på over hele planeten.
Men langt færre mennesker kan utlede dette uttrykket. Det er også på grunn av måten matematikk undervises på - den vanlige utledningen er avhengig av et matematisk triks, kalt å fullføre kvadratet, som er langt fra intuitivt. Etter babylonerne tok det faktisk mange århundrer for matematikere å snuble over dette beviset.
Før og siden har matematikere funnet en lang rekke andre måter å utlede formelen på. Men alle er også vanskelige og ikke-intuitive.
Så det er lett å forestille seg at matematikere må ha uttømt problemet. Det kan bare ikke være en bedre måte å utlede den kvadratiske formelen på.
Skriv inn Po-Shen Loh, en matematiker ved Carnegie Mellon University i Pittsburgh, som har funnet en enklere måte - en som ser ut til å ha gått ubemerket hen disse 4000 årene.
Lohs tilnærming er ikke avhengig av å fullføre ruten eller andre vanskelige matematiske triks. Faktisk er det enkelt nok til å fungere som en generell metode i seg selv, noe som betyr at elevene ikke trenger å huske formelen i det hele tatt. Avledningen har potensial til å avmystifisere den kvadratiske formelen for studenter over hele verden, sier han.
Den nye tilnærmingen er grei. Det starter med å observere at hvis en andregradsligning kan faktoriseres på følgende måte:
Da er høyre side lik 0 når x=R eller når x=S. Da ville disse være røttene til kvadratisk.
Å multiplisere ut høyre side gir
Dette gjelder når -B=R+S og når C=RS.
Nå kommer den smarte biten. Loh påpeker at tallene, R og S, summerer seg til -B når gjennomsnittet deres er -B/2.
Så vi søker to tall på formen -B/2±z, der z er en enkelt ukjent størrelse, sier han. Vi kan så multiplisere disse tallene sammen for å få et uttrykk for C. Altså
Da gir noen enkel omorganisering
Hvilket betyr at løsningen for en kvadratisk ligning er:
Voilà! Det er den kvadratiske formelen.
[Den mer generelle versjonen kan utledes ved å dele ligningen Ax2+Bx+C=0 med A for å gi x2+B/Ax+C/A=0 og deretter gjenta prosessen ovenfor.]
Det er en veldig betydelig forbedring i forhold til den forrige metoden, og Loh viser hvorfor med et enkelt eksempel.
Finn røttene til følgende kvadratisk: x2 - 2x+4=0
Den tradisjonelle metoden vil være å regne ut verdier for A, B og C og plugge dem inn i den kvadratiske formelen. Men Lohs tilnærming løser problemet intuitivt. Det første trinnet er å tenke at de to røttene til ligningen må være lik -B/2±z = 1±z
Og fordi produktet deres må være C=4, kan vi skrive:
Så røttene er
Å prøve det samme problemet ved å bruke den tradisjonelle metoden er mye vanskeligere. Fortsett, gi det en sjanse! Den nye tilnærmingen er mye enklere og mer intuitiv, ikke minst fordi den ikke krever at formelen huskes i det hele tatt.
Et interessant spørsmål er hvorfor ingen har snublet over og delt denne metoden mye før.
Loh sier han 'ville faktisk bli veldig overrasket hvis denne tilnærmingen helt har unngått menneskelig oppdagelse frem til i dag, gitt de 4000 årene med historie om dette emnet, og de milliarder av mennesker som har møtt formelen og bevisene på den. Men denne teknikken er absolutt ikke mye lært eller kjent.'
Loh har søkt i matematikkens historie etter en tilnærming som ligner hans, uten å lykkes. Han har sett på metoder utviklet av de gamle babylonerne, kineserne, grekerne, indianerne og arabere samt moderne matematikere fra renessansen til i dag. Ingen av dem ser ut til å ha gjort dette trinnet, selv om algebraen er enkel og har vært kjent i århundrer.
Så hvorfor nå? Loh tror det er relatert til måten den konvensjonelle tilnærmingen beviser at kvadratiske ligninger har to røtter. Kanskje grunnen er fordi det faktisk er matematisk ikke-trivielt å gjøre den motsatte implikasjonen: at det alltid har to røtter, og at disse røttene har sum −B og produkt C, sier han.
Loh, som er en matematikkpedagog og populær i noen grad, oppdaget tilnærmingen hans mens han analyserte matematikkplaner for skolebarn, med mål om å utvikle nye forklaringer. Avledningen kom fra denne prosessen.
Spørsmålet nå er hvor vidt det vil spre seg og hvor raskt. For å få fart på adopsjonen, Loh har laget en video om metoden . Uansett ville babylonske skattekalkulatorer sikkert blitt imponert.
Ref: arxiv.org/abs/1910.06709 : Et enkelt bevis på den kvadratiske formelen
Rettelse: Vi endret en setning for å si at metoden aldri har blitt delt mye før og inkluderte et sitat fra Loh.