211service.com
Denne algoritmen kan fortelle hvilke tallsekvenser et menneske vil finne interessante
En av de merkelige egenskapene til matematikk er dens skjønnhet. Men nøyaktig hva matematikere mener med skjønnhet er vanskelig å fange.
Det kanskje mest kjente eksemplet er Eulers forhold, f.eks Jeg π + 1 = 0, som avslører en dyp kobling mellom tilsynelatende urelaterte områder av matematikk. For eksempel |_+_| kommer fra geometri, Og og Jeg kommer fra algebra, og primitivene 0 og 1 sammen med operasjonene + og = kommer fra tallteori. At de henger sammen på en så enkel og uventet måte er et av de store underverkene i den matematiske verden.
Og det peker på en annen komponent av matematisk skjønnhet: Matematiske mønstre må være interessante på en eller annen måte. Å gjenkjenne disse interessante mønstrene har alltid vært en unik menneskelig evne.
Men de siste årene har maskiner blitt enormt dyktige verktøy for mønstergjenkjenning. Faktisk har de begynt å overgå mennesker i ansiktsgjenkjenning, gjenkjenning av gjenstander og en rekke spillroller også.
Og det reiser en interessant mulighet: Kan maskinlæringsalgoritmer identifisere interessante eller elegante mønstre i matematikk? Kan de til og med være dommere for matematisk skjønnhet?
I dag får vi et slags svar takket være arbeidet til Chai Wah Wu ved IBMs TJ Watson Research Center i staten New York. Wu har bygget en maskinlæringsalgoritme som har lært å identifisere visse typer eleganse i matematiske strukturer og brukt den til å filtrere interessante sekvenser fra helt tilfeldige.
Teknikken bruker en uvanlig database kalt Online Encyclopedia of Integer Sequences , opprinnelig opprettet på 1960-tallet av matematikeren Neil Sloane og plassert på nettet i 1996.
En heltallssekvens er en rekke tall som er ordnet i henhold til en regel. Kjente eksempler inkluderer primtallene - tall som bare kan deles på seg selv og 1 ( A000040 ); Fibonacci-sekvensen, der hvert ledd er summen av de to foregående leddene ( A000045 ); og til og med trivielle eksempler som rekkefølgen av oddetall eller primtall som starter med en 7.
Faktisk kaster matematikerne som driver OEIS nettet bredt på jakt etter interessante sekvenser og har derfor inkludert et bredt spekter av eksempler med ren kulturell betydning. Disse inkluderer primtall som inneholder sekvensen 666, det såkalte nummeret til udyret.
Databasen inkluderer til og med sekvensen av primtall som inneholder tallet 667 ( A138563 ). Dette nummeret ble ansett som betydelig fordi når faksmaskiner var vanlige, ville folk ofte ha et faksnummer som var telefonnummeret deres pluss 1. Med andre ord, hvis telefonnummeret deres var 123-4567, ville faksnummeret deres være 123-4568. Ved denne tankegangen er 667 faksnummeret til udyret, og så av kulturell betydning (redaktørene er tross alt mennesker).
I dag inneholder Integer Sequence-databasen rundt 300 000 sekvenser, og nye sendes inn hver dag av både amatører og profesjonelle, mange av dem antyder nye og interessante problemer i matematikk.
Oppgaven som Wu tok på seg var å finne en måte å skille disse interessante sekvensene fra tilfeldig genererte. Og ideen hans var å finne empiriske lover som kan fungere som mål på interessanthet som kunne skille dem fra uinteressante.
Empiriske lover er ikke matematiske teoremer per se men er empiriske observasjoner av sammenhenger som ser ut til å gjelde mange naturlige og menneskeskapte datasett, sier Wu. Eksempler inkluderer Moores lov i elektroteknikk og 80/20 Pareto-prinsippet i økonomi. Akkurat hvorfor disse lovene gjelder er ikke fullt ut forstått, men de holder likevel.
Et empirisk prinsipp som gjelder for mange datasett er Benfords lov. Dette ble oppdaget av den kanadiske matematikeren og astronomen Simon Newcomb i 1881. Newcomb bemerket at de tidligere sidene i bøker med logaritmetabeller var mer tommeltommer enn senere sider, noe som tyder på at logaritmer som starter med sifferet 1 var mer vanlige.
Dette førte til at han formulerte prinsippet om at i ethvert sett med data ville flere tall begynne med 1 enn noe annet tall. Den samme ideen ble gjenoppdaget og popularisert av Frank Benford på 1930-tallet.
Benfords lov gjelder for et bredt spekter av datasett, som strømregninger, gateadresser, aksjekurser og så videre. Den er så forutsigbar at den kan brukes til å oppdage svindel i finansregnskap. Men det gjelder ikke tilfeldige sekvenser. Nøyaktig hvorfor er ikke klart forstått.
Det er faktisk noe av et puslespill at matematikere har oppdaget at Benfords lov gjelder noen heltallssekvenser. Men hvor mye gjelder det i disse sekvensene?
For å finne det ut, målte Wu hvor godt loven forutsier fordelingen av de første sifrene i 40 000 sekvenser tilfeldig valgt fra OEIS-databasen.
Det viser seg at Benfords lov dukker opp mye oftere enn forventet. Resultatene viser at mange, men ikke alle, sekvenser til en viss grad tilfredsstiller Benfords lov, sier Wu, som fant ut at et annet empirisk prinsipp kalt Taylors lov også var vidt til stede.
Det neste spørsmålet var et enkelt skritt videre: Kan Benfords lov og Taylors lov brukes til å skille tilfeldige sekvenser fra de i OEIS?
For å finne det ut genererte Wu 40 000 sekvenser med tilfeldige heltall og la disse til de 40 000 sekvensene valgt fra OEIS. Deretter trente han en maskinlæringsalgoritme for å oppdage OEIS-sekvenser ved å bruke Benfords lov og Taylors lov og for å skille dem fra tilfeldige sekvenser.
Resultatene er imponerende. Algoritmen fungerte med en nøyaktighet på 0,999 og en presisjon på 0,9984. Det er viktig fordi det setter opp muligheten for en automatisert prosess for å oppdage interessante sekvenser.
En søknad er umiddelbart synlig. Matematikerne som driver OEIS må for tiden behandle rundt 10 000 innleveringer i året. Så en måte å automatisk oppdage det mest interessante kan være nyttig.
Tilnærmingen har imidlertid noen betydelige begrensninger. Matematikere har definert mange interessante og viktige sekvenser som har et uendelig antall ledd, men som er vanskelige å beregne. Derfor inneholder databasen bare en håndfull av disse begrepene. Disse er åpenbart ikke egnet for denne typen maskinbasert analyse.
Det bredere spørsmålet er om denne tilnærmingen kan identifisere eleganse eller skjønnhet i matematikk. Som Wu spør: Kan maskinlæring identifisere kvalitative egenskaper ved vitenskapelig kunnskap; dvs. kan vi si om et vitenskapelig resultat er elegant, enkelt eller interessant?
Dette målet er kanskje ikke helt nytteløst. Hvis empiriske lover som Benfords og Taylors er en indikator på interessanthet, som dette arbeidet antyder, så kan kanskje denne algoritmen betraktes som en elegansedommer, i det minste på et eller annet nivå.
Euler, av samme navn og en av de største matematikerne i historien, ville sikkert bli fascinert.
Ref: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Kan maskinlæring identifisere interessant matematikk? En utforskning ved bruk av empirisk observerte lover